|
|
 |
Условие
Дано натуральное число $n > 1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число.
Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.
Решение
Пусть $n$ делится на простое число $p$, и натуральное число $\alpha$ таково, что $p^{\alpha} < n \leqslant p^{\alpha+1}$. Рассмотрим какую-нибудь хорошую дробь $\frac{n-a}{a}$, у которой знаменатель $a$ делится на $p$. Поскольку $a < n \leqslant p^{\alpha+1}$, то $a$ не делится на $p^{\alpha+1}$. Заметим, что $n-a$ делится на $p$, поэтому дробь $\frac{n-a}{a}$ можно сократить на $p$. После сокращения знаменатель не будет делиться на $p^{\alpha}$. Таким образом, $N$ не будет делиться на $p^\alpha$, следовательно, дробь $\frac{1}{p^\alpha}$ выразить не получится.Докажем, что если $n$ равно простому числу $p$, то любую дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить. Рассмотрим дробь $\frac{b}{a}$, где $a < p$. Как известно, НОД двух целых чисел $x$ и $y$ можно представить в виде $kx + ly$ для некоторых целых $k$ и $l$ (это называется линейным представлением НОД). Так как $p$ простое, то числа $p-a$ и $a$ взаимно просты, поэтому найдутся такие целые $k$ и $l$, что $k(p-a) + la = 1$. Тогда $$ \frac{1}{a} = \frac{k(p-a) + la}{a} = k \cdot \frac{p-a}{a} + l = k \cdot \frac{p-a}{a} + (p-1)l \cdot \frac{1}{p-1}. $$ Таким образом, дробь $\frac{1}{a}$ можно выразить через хорошие дроби $\frac{p-a}{a}$ и $\frac{1}{p-1}$. Дробь $\frac{b}{a}$ представляется в виде суммы $b$ дробей $\frac{1}{a}$, поэтому её также можно выразить через хорошие.
