Задача 67196
|
|
 |
Условие
Пусть $ABCD$ — параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка $P$ выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников $PAB$ и $PCD$ имеют общую хорду, перпендикулярную $AD$. Докажите, что радиусы данных окружностей равны.Решение 1
Предположим противное: радиусы окружностей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, описанных около треугольников $PAB$ и $PCD$ соответственно, различны.
При параллельном переносе на $\smash{\overrightarrow{CB}}$ отрезок $CD$ перейдёт в отрезок $AB$, окружность $\omega_{2}$ перейдёт в окружность $\omega_{3}$, а прямая $O_1O_2$ перейдёт в себя. Причём $\omega_{3}$ не может совпадать с $\omega_{1}$, поскольку их радиусы различны. Поэтому линия центров $O_3O_1$, совпадающая с прямой $O_1O_2$, перпендикулярна общей хорде $AB$. Таким образом, прямая $AB$ параллельна общей хорде окружностей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ и, следовательно, перпендикулярна прямой $AD$. Тогда параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником, что противоречит условию задачи. Следовательно, радиусы окружностей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ равны.
Решение 2
Заметим, что линия центров $O_1O_2$ перпендикулярна общей хорде данных окружностей, а значит, параллельна прямым $AD$ и $BC$ (см. рисунок). Пусть $M$ — середина отрезка $AB$, $N$ — середина отрезка $CD$. Тогда $O_1M\perp AB$, $O_2N\perp CD$ и, поскольку $AB\parallel CD$, прямые $O_1M$ и $O_2N$ параллельны. Поскольку $O_1O_2\parallel AD$ и при этом $AD\parallel MN$, прямые $O_1O_2$ и $MN$ параллельны. Следовательно, четырёхугольник $O_1MNO_2$ — параллелограмм, а значит, $O_1M=O_2N$. Кроме того, поскольку отрезки $MB$ и $NC$ равны, то будут равны прямоугольные треугольники $O_1MB$ и $O_2NC$ по двум катетам. Следовательно, $O_1B = O_2C$, т.е. равны радиусы данных окружностей, что и требовалось.
