Задача 67206

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Марданов А.

Пусть $L$ – середина меньшей дуги $AC$ описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Из вершины $B$ на касательную к описанной окружности, проведённую в точке $L$, опустили перпендикуляр $BP$. Докажите, что точки $P$, $L$ и середины сторон $AB$ и $BC$ лежат на одной окружности.

Решение

Пусть $M$, $N$ и $K$ – середины сторон $AB$, $BC$ и $AC$; $H$ – основание высоты, проведённой из вершины $B$. Тогда $H$ является точкой пересечения $BP$ и $AC$. Ясно, что $MN \parallel AC \parallel PL$, значит, $MPLN$ – трапеция. Кроме того, $MN \parallel KH$, а $NK = \frac12 AB = MH$, поэтому $MHKN$ – равнобокая трапеция. Тогда $\angle MHP=\angle NKL$, $MH=KN$. Также понятно, что $PH=KL$. Значит, равны и треугольники $MHP$ и $NKL$, то есть $MPLN$ – равнобокая трапеция, а тогда точки $P$, $L$ и середины сторон $AB$ и $BC$ лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
Заочный тур
задача
Номер	1 [8 кл]