Условие
Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. На сторонах $AD$ и $CD$ взяты точки $E$ и $F$ так, что $AE=BC$ и $AB=CF$. Пусть $M$ – середина $EF$. Докажите, что угол $AMC$ прямой.
Решение 1
Построим параллелограмм $ABCU$. Точки $E$, $F$ симметричны $U$ относительно биссектрис углов $BAD$, $BCD$ соответственно. Поскольку $\angle AUC+\angle ADC=180^{\circ}$, эти биссектрисы перпендикулярны. Следовательно, треугольник $UEF$ прямоугольный, а биссектрисы пересекаются в центре описанной около него окружности – точке $M$.
Решение 2
В пятиугольнике $ABCFE$ $\angle A+\angle C=180^{\circ}$, значит, $\angle B+\angle E+\angle F=360^{\circ}$. Отложим от произвольной точки $U$ отрезки $UX=AB=CF$, $UY=BC=AE$, $UZ=ME=MF$ так, что $\angle XUY=\angle B$, $\angle YUZ=\angle E$, $\angle ZUX=\angle F$. Тогда треугольники $UXY$, $UYZ$, $UZX$ и $XYZ$ равны соответственно треугольникам $BAC$, $EMA$, $FMC$ и $ACM$, следовательно, $\angle AMC=\angle AME+\angle CMF=90^{\circ}$.
Источники и прецеденты использования
