Условие
Высоты $BE$ и $CF$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Перпендикуляр из $H$ к прямой $EF$ пересекает прямую $\ell$, проходящую через точку $A$ и параллельную $BC$, в точке $P$. Биссектрисы углов, образованных прямыми $\ell$ и $HP$, пересекают прямую $BC$ в точках $S$ и $T$. Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $PST$ касаются.
Решение
Пусть $PH$ пересекает $BC$ в точке $M$. Из равенств $\angle MPT=\angle APT=\angle MTP$ следует, что $MT=MP$. Аналогично $MS=MP$, т.е. $M$ –центр описанной окружности треугольника $PST$. Кроме того, так как $AO\perp EF$, то $AO\parallel MP$, где $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Так как точка $H'$, симметричная $H$ относительно $BC$, лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, то равнобедренные треугольники $HMH'$ и $AOH'$ подобны, значит, $M$ лежит на отрезке $OH'$, а прямые $OM$ и $MP$ образуют равные углы с $BC$. Тогда точка пересечения прямой $OM$ с $\ell$ лежит на обеих окружностях $ABC$ и $PST$, которые в этой точке касаются.
Источники и прецеденты использования
