Условие
Эллипс $\Gamma_1$ c фокусами в серединах сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $A$, а эллипс $\Gamma_2$ c фокусами в серединах сторон $AC$ и $BC$ проходит через вершину $C$. Докажите, что точки пересечения этих эллипсов и ортоцентр треугольника $ABC$ лежат на одной прямой.
Решение
Пусть $B_0$ – середина $AC$. Директрисы $d_1$, $d_2$ эллипсов $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, соответствующие фокусу $B_0$, параллельны его высотам $AH$, $CH$. Следовательно, расстояния от $H$ до $d_1$ и $d_2$ равны расстояниям до этих прямых от точек $A$ и $C$ соответственно. Поскольку $AB_0=CB_0$, отношение этих расстояний обратно отношению эксцентриситетов эллипсов. Так как для точек пересечения эллипсов отношение расстояний до директрис такое же, три точки лежат на одной прямой.
Источники и прецеденты использования
