Условие
Дан тетраэдр $ABCD$. Прямая $\ell$ пересекает плоскости $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ в точках $D_0$, $A_0$, $B_0$, $C_0$ соответственно. Пусть $P$ – произвольная точка, не лежащая на прямой $\ell$ и в плоскостях граней тетраэдра, а $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ – вторые точки пересечения прямых $PA_0$, $PB_0$, $PC_0$, $PD_0$ со сферами $PBCD$, $PCDA$, $PDAB$, $PABC$ соответственно. Докажите, что $P$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ лежат на одной окружности.
Решение
Пусть $S$ – описанная сфера тетраэдра $ABCD$, а $\omega$ – описанная окружность треугольника $PA_1B_1$. Тогда плоскость $BCD$ – радикальная плоскость $S$ и описанной сферы тетраэдра $PBCD$. Так как $A_0$ лежит в плоскости $BCD$, то степень точки $A_0$ относительно $S$ равна ее степени относительно сферы $PBCD$, т.е. $A_0P\cdot A_0A_1$. Этому произведению равна также степень $A_0$ относительно описанной около треугольника $PA_1B_1$ окружности $\omega$. Таким образом, $A_0$ лежит на радикальной оси сферы $S$ и окружности $\omega$. Аналогично $B_0$ лежит на радикальной оси $S$ и $\omega$. Следовательно, эта радикальная ось совпадает с прямой $\ell$.
Так как точка $C_0$ лежит в плоскости $DAB$, являющейся радикальной плоскостью $S$ и описанной сферы тетраэдра $PDAB$, степени $C_0$ относительно этих сфер равны. Значит, прямая $PC_0$ – радикальная ось окружности $\omega$ и сферы $PDAB$, но $PC_0$ пересекает эту сферу в точке $C_1$, следовательно, $C_1$ лежит на окружности $\omega$. Аналогично $D_1$ лежит на $\omega$. Таким образом, $P$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ лежат на одной окружности
Источники и прецеденты использования
