Задача 67237

Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Демин Д., Кухарчук И.

Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, пересекающиеся в точке $A$, и прямая $a$. Пусть $BC$ – произвольная хорда окружности $\omega_2$, параллельная $a$, а $E$ и $F$ – вторые точки пересечения прямых $AB$ и $AC$ с $\omega_1$. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $BC$ и $EF$.

Решение

Пусть $B_1C_1$ и $B_2C_2$ – два положения хорды $BC$, $E_1F_1$, $E_2F_2$ – соответствующие положения хорды $EF$. Так как дуги $B_1B_2$ и $C_1C_2$ равны, дуги $E_1F_1$ и $E_2F_2$ также равны, т.е. $E_1F_1\parallel E_2F_2$. Кроме того, хорды $B_iC_i$ и $E_iF_i$ стягивают дуги одинаковой угловой меры.

Следовательно, когда прямая $BC$ движется равномерно, $EF$ также движется равномерно, а точка их пересечения движется по прямой. Очевидно, что крайними положениями этой точки будут точки пересечения касательных к окружностям.

Ответ

Пусть $X_1X_2$ – диаметр $\omega_2$, перпендикулярный $a$, $Y_1$, $Y_2$ – вторые точки пересечения прямых $AX_1$, $AX_2$ с $\omega_1$. Тогда искомое ГМТ – интервал, ограниченный точками пересечения касательных к $\omega_2$ в $X_1$, $X_2$ с касательными к $\omega_1$ в $Y_1$, $Y_2$ соответственно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
класс
Класс	8
задача
Номер	8.8