Задача 67244
|
|
 |
Условие
Точка $H$ – ортоцентр треугольника ${\sf T}$. Стороны треугольника ${\sf T}_1$ проходят через середины сторон треугольника ${\sf T}$ и перпендикулярны соответствующим биссектрисам ${\sf T}$. Вершины треугольника ${\sf T}_2$ являются серединами биссектрис треугольника ${\sf T}$. Докажите, что прямые, соединяющие $H$ с вершинами треугольника ${\sf T}_1$ перпендикулярны сторонам треугольника ${\sf T}_2$.Решение
Докажем следующее утверждение: прямые, соединяющие $H$ с вершинами треугольника, ${\sf T}_1$ являются радикальными осями окружностей, построенных на биссектрисах треугольника ${\sf T}$ как на диаметрах. Из этого следует утверждение задачи. Поскольку указанные радикальные оси по условию перпендикулярны линиям центров, то достаточно проверить, что вершины треугольника ${\sf T}_1$ имеют одинаковые степени для соответствующих пар окружностей. Мы проверим больше, что вершина треугольника ${\sf T}_1$ является радикальным центром двух окружностей, построенных на биссектрисах как на диаметрах и окружности, вписанной в треугольник ${\sf T}$. Поскольку сторона треугольника ${\sf T}_1$ перпендикулярна биссектрисе треугольника ${\sf T}$ (то есть линии центров вписанной окружности и окружности, построенной на биссектрисе, как на диаметре), то достаточно проверить, что середина стороны имеет одинаковые степени относительно вписанной окружности и окружности, построенной на биссектрисе как на диаметре.Обозначим вершины треугольника ${\sf T}$ через $A$, $B$ и $C$, середину стороны $BC$ через $M$, основание биссектрисы через $L$, основание высоты через $D$ и точку касания с вписанной окружностью через $T$. Нам достаточно проверить, что $MT^2=ML\cdot MD$. Обозначим стороны треугольника через $a$, $b$ и $c$. Тогда $MT=|b-c|/2$, $ML=a|b-c|/2(b+c)$, $MD=|b^2-c^2|/2a$, откуда и следует требуемое.
