Условие
В треугольнике $ABC$ вписанная окружность касается стороны $BC$ в точке $D$. Точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности треугольника. Точки $P$ и $Q$ – проекции точки $M$ на внешние биссектрисы углов $B$ и $C$. Докажите, что прямая $PQ$ делит отрезок $AD$ пополам.
Решение 1
Пусть точка $X$ равномерно движется от $B$ до $C$, а точка $Y$ – от $I_c$ до $I_b$. Тогда середина отрезка $XY$ тоже равномерно движется по прямой $PQ$. Поскольку $IA$ и $ID$ – высоты подобных треугольников $II_cI_b$ и $IBC$, $X$ и $Y$ попадают в $D$ и $A$ соответственно одновременно. Следовательно, середина $AD$ лежит на $PQ$.
Решение 2
Пусть $I_c$, $I_b$ – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон $AB$, $AC$ соответственно. Так как $M$ – середина $I_aI_b$ и $MP\parallel BI_b$, точка $P$ – середина $BI_c$. Поэтому, опустив перпендикуляры $PP'$, $PP''$ на $BC$ и $AB$ соответственно, получим $P''B=P'B=(p-a)/2$. Поскольку $AB-BD=p-a$, $P'D=P'B+BD=AB-P''B=P''A$. Следовательно, $PD=PA$. Аналогично $QD=QA$, т.е. $PQ$ – серединный перпендикуляр к $AD$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2023 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
10.5 |
