Задача 67257
|
|
 |
Условие
Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму $$Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{x}{10000}\right\rfloor.$$ Найдите разность $Q(2023) – Q(2022)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)Решение
Очевидно, $\left\lfloor\frac{x-1}{k}\right\rfloor \leq\left\lfloor\frac{x}{k}\right\rfloor$. Неравенство $\left\lfloor\frac{x-1}{k}\right\rfloor<\left\lfloor\frac{x}{k}\right\rfloor=m$ означает, что $x-1 < k m \leq x$, откуда $x=k m$, то есть $x$ делится на $k$, и тогда $\left\lfloor\frac{x-1}{k}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{x}{k}\right\rfloor-1$. Верно и обратное: если $x$ кратно $k$, то $\left\lfloor\frac{x-1}{k}\right\rfloor < \left\lfloor\frac{x}{k}\right\rfloor$.
Значит, среди чисел $\lfloor 2023\rfloor-\lfloor 2022\rfloor,\left\lfloor\frac{2023}{2}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{2022}{2}\right\rfloor, \ldots,\left\lfloor\frac{2023}{10000}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{2022}{10000}\right\rfloor$ единиц ровно столько, сколько у числа 2023 натуральных делителей, не превосходящих 2023, а остальные числа равны нулю. Разность $Q(2023) - Q(2022)$ равна сумме вышеуказанных чисел, то есть количеству натуральных делителей числа $2023 = 7⋅17^2$, а оно равно 6.
Ответ
6.Замечания
См. также задачу 67260.
