Условие
Существует ли число, которое может быть представлено в виде $\frac1n + \frac1m$, где $m$ и $n$ натуральные, не менее чем ста способами? Ответ объясните.
Решение 1
Число 200 можно представить в виде суммы двух слагаемых 100 способами:
$$200 = 1+199 = 2+198 = \dots = 99+101 = 100+100,$$
значит,
$$\frac{200}{200!} = \frac{1}{200!}+\frac{199}{200!} = \frac{2}{200!}+\frac{198}{200!} = \dots = \frac{99}{200!}+\frac{101}{200!} = \frac{100}{200!}+\frac{100}{200!}.$$
Остаётся заметить, что в числителях дробей-слагаемых встречаются только числа от 1 до 199, на которые делится стоящее в знаменателе число $200!$. Значит, после сокращения дробей мы получим представление числа $\frac{200}{200!} = \frac{1}{199!}$ как суммы вида $\frac1n + \frac1m$ ста способами.
Решение 2
Заметим, что
$$\frac{1}{ab} = \frac{(b+1)}{ab(b+1)} = \frac{b}{ab(b+1)} + \frac{1}{ab(b+1)} = \frac{1}{a(b+1)} + \frac{1}{ab(b+1)}.$$
Значит, ответом задачи может служить число $\frac{1}{k},$ где $k$ можно разложить на два множителя 100 разными способами – например, подойдёт $k = 2^{100}.$
Ответ
Существует – например, число $\frac{1}{199!}$ или $\frac{1}{2^{100}}$.
Источники и прецеденты использования
