Условие
На урок физкультуры пришло $12$ детей, все разной силы. Учитель $10$ раз делил их на две команды по $6$ человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все $10$ раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?
Решение
Пусть силы детей равны $1$, $2, \ldots, 12$. Предъявим $10$ возможных разбиений детей на две команды с равными силами. Тогда при каждом таком разбиении будет зафиксирована ничья.
Разобьём детей на пары с суммарной силой $13$: $(1, 12)$, $(2, 11)$, $(3, 10)$, $(4, 9)$, $(5, 8)$, $(6, 7)$. Пусть в первой команде всегда будет пара $(1, 12)$ и ещё какие-то две из оставшихся пяти пар. При этом остальные три пары образуют вторую команду. Тогда суммарная сила каждой команды будет равна $3 \cdot 13 = 39$.
Две пары из пяти возможных пар можно выбрать $\frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ возможными способами. Таким образом, мы получили $10$ возможных разбиений на команды с равными силами.
Ответ
да, могло.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
87 |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
87 |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
