Условие
Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $DA$ и $CB$ – в точке $Q$. Докажите, что $|AD - CD| \geq |r_1 - r_2|$, где $r_1$ и $r_2$ – радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$.
Решение
Пусть $T_1$ и $T_2$ – точки касания вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$ со сторонами $BC$ и $AB$ соответственно, а $K$ и $L$ – точки касания вписанной в $ABCD$ окружности со сторонами $BC$ и $AB$ соответственно (см. рис.).
По свойству описанного четырёхугольника
$AB + CD = BC + AD$, поэтому $|AD - CD| = |AB - BC|$. Из треугольников $BI_1T_1$ и $BI_2T_2$ имеем, что $r_1 = BT_1 \cdot \operatorname{tg}\angle CBI_1$, а $r_2 = BT_2 \cdot \operatorname{tg}\angle CBI_1$, откуда
$$|r_1 - r_2| = |BT_1 - BT_2| \cdot \operatorname{tg}\frac{\angle PBC}{2} \leq |BT_1 - BT_2|,$$
так как $\angle PBC < 90^{\circ}$. Заметим, что $BL = BK$ как отрезки касательных, а $BK = CT_1$, ведь $T_1$ и $K$ – точки касания вписанной и вневписанной окружностей треугольника $PBC$ со стороной $BC$, аналогично $BL = AT_2$. Тогда $|BC - AB| = |BT_1 - BT_2 + CT_1 - AT_2| = |BT_1 - BT_2| \geq |r_1 - r_2|$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
87 |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
4 |
