Задача 67338

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Погосян П.

Точки $A'$, $B'$, $C'$ соответственно симметричны вершинам $A$, $B$, $C$ относительно противоположных сторон треугольника $ABC$. Докажите, что окружности $AB'C'$, $A'BC'$ и $A'B'C$ пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть $X$ – вторая точка пересечения окружностей $AB'C'$ и $A'BC'$. Тогда $\angle(XB',XC')=\angle(AB',AC')=3\angle(AC,AB)$. Аналогично $\angle(XC',XA')=3\angle(BA,BC)$. Следовательно, $\angle(XB',XA')=3\angle(AC,BC)=\angle(CB',CA')$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2024
Заочный тур
задача
Номер	5 [8 кл]