Условие
В четырехугольнике $ABCD$ $\angle B=\angle D$ и $AD=CD$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $AC$, $BD$, $AE$ и $CF$ лежат на одной окружности.
Решение
Пусть $K$, $L$, $M$, $N$ – середины $BD$, $AC$, $AE$, $CF$ соответственно. Так как $LM\parallel BC$ и $LN\parallel AB$, то $\angle MLN=\angle CBA$. С другой стороны, $\overrightarrow{KM}=(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BE})/2$, $\overrightarrow{KN}=(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BF})/2$, а, поскольку $DA=DC$, $BE=BF$ и угол между векторами $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{DC}$ равен углу между $\overrightarrow{BE}$ и $\overrightarrow{BF}$, то и угол $MKN$ равен этим углам.
Источники и прецеденты использования
