Условие
Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $I_a$ – центр вневписанной окружности, соответствующей вершине $A$; $I'_a$ – точка, симметричная $I_a$ относительно прямой $AA_1$. Аналогично построим точки $I'_b$, $I'_c$.
Докажите, что прямые $A_1I'_a$, $B_1I'_b$, $C_1I'_c$ пересекаются в одной точке.
Решение 1
Докажем, что прямые $A_1I_a$, $B_1I_b$, $C_1I_c$ пересекаются в одной точке. Тогда прямые $A_1A'$, $B_1B'$, $C_1C'$, симметричные им относительно биссектрис треугольника $A_1B_1C_1$ также пересекутся в одной точке. Заметим, что, например, $\sin\angle I_bI_aA_1:\sin\angle I_cI_aA_1=(BA_1:CA_1)\cdot (I_aC:I_aB)$. Применяя теорему Чевы к тройкам прямых $I_aA$, $I_bB$, $I_cC$ и $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, получаем, что произведение этого и двух аналогичных отношений равно 1.
Решение 2
Прямые $A_1A$, $A_1B$, $A_1A'$ и $A_1I_a$ образуют гармоническую четверку. Следовательно, точки их пересечения с биссектрисой $AL$ тоже образуют гармоническую четверку. Так как точкой, дополняющей $A$, $L$, $I_a$ до гармонической четверки является центр $I$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности, прямая $A_1A'$ проходит через $I$. Аналогично $B_1B'$ и $C_1C'$ проходят через $I$.
Это рассуждение можно провести немного иначе. Так как прямые $A_1A$, $A_1B$, $A_1I$ и $A_1I_a$ образуют гармоническую четверку и $A_1A\perp A_1B$, прямые $A_1A$ и $A_1B$ являются биссектрисами углов между $A_1I$ и $A_1I_a$. Следовательно, $A_1A'$ проходит через $I$.
Замечания
Утверждение задачи является частным случаем следующего факта. Если точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ лежат на сторонах $BC$, $CA$, $AB$ треугольника $ABC$, а точки $A_2$, $B_2$, $C_2$ лежат на сторонах $B_1C_1$, $C_1A_1$, $A_1B_1$ треугольника $A_1B_1C_1$, причем прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной точке и прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке, то и прямые $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$ пересекаются в одной точке.
Источники и прецеденты использования
