Условие
Дан отрезок $AB$. Пусть $C$ – произвольная точка на серединном перпендикуляре к $AB$; $O$ – точка на описанной окружности треугольника $ABC$, противоположная $C$; эллипс с центром $O$ касается прямых $AB$, $BC$, $CA$. Найдите геометрическое место точек касания эллипса с прямой $BC$.
Решение
Пусть $M$ – середина $AB$, $N$ – точка, симметричная $M$ относительно $O$, $P$ – точка пересечения $PN$ и $BC$, $U$, $V$ – точки пересечения прямой, проходящей через $N$ и параллельной $AB$, с прямыми $BC$, $AC$ соответственно.
Так как треугольники $BPQ$ и $UPN$ подобны, $BP:PN=BQ:UN=AB:UV$, т.е. прямая, проходящая через $P$ и параллельная $AB$, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции $ABUV$. Следовательно, вписанный в трапецию эллипс касается $BC$ в точке $P$. Поскольку $PN\parallel OB\perp BC$, эта точка лежит на окружности с диаметром $BQ$. Очевидно, что любая точка окружности, кроме $B$ и $Q$, принадлежит искомому ГМТ.
Ответ
Окружность с диаметром $BQ$, где $Q$ – точка на луче $AB$ такая, что $AQ=3AB/2$, без точек $B$ и $Q$.
Источники и прецеденты использования
