Задача 67363

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Нилов Ф.

Окружность $\omega$ касается прямых $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Произвольная касательная к $\omega$ пересекает $a$ и $b$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Точки $X'$ и $Y'$ симметричны точкам $X$ и $Y$ относительно $A$ и $B$ соответственно. Найдите геометрическое место проекций центра окружности на $X'Y'$.

Решение

Рассмотрим случай, когда окружность $\omega$ вписана в треугольник, образованный прямыми $a$, $b$ и $XY$. Другие случаи разбираются аналогично.

Пусть $I$ – центр $\omega$, $P$ – проекция $I$ на $X'Y'$, $T$ – точка касания $\omega$ с $XY$. Так как точки $A$ и $P$ лежат на окружности с диаметром $IX'$, то $\angle API=\angle AX'I=\angle IXA=\angle ITA$. Аналогично $\angle IPB=\angle BTI$ и, следовательно, $\angle APB=\angle BTA$.

Аналогично показывается, что по любой точке $P$ полученной окружности можно построить точки $X$, $Y$, причем прямая $XY$ будет касаться $\omega$. Исключением являются только две точки, для которых прямая $IP$ перпендикулярна одной из сторон угла, так как в этих случаях одна из точек $X'$, $Y'$ не существует.

Ответ

Окружность, симметричная $\omega$ относительно прямой $AB$ с двумя выколотыми точками.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2024
класс
Класс	8
задача
Номер	8.6