Задача 67374

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Биссектриса угла $ABD$ пересекает диагональ $AC$ в точке $E$, а биссектриса угла $ACD$ – диагональ $BD$ в точке $F$. Докажите, что прямые $AF$ и $DE$ пересекаются на медиане треугольника $APD$.

Решение

Поскольку треугольники $APB$ и $DPC$ подобны, то $AE:EP=AB:BP=CD:CP=DF:FP$ и утверждение задачи следует из теоремы Чевы.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2024
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1