Задача 67391

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM=BC$. Из точек $M$ и $B$ на сторону $AC$ опустили перпендикуляры $MK$ и $BH$ (см. рис.). $AC$ вдвое больше $KH$. Угол $A$ равен $22$ градусам. Найдите угол $C$.

Решение

По условию $KH = AK+HC$. Значит, на отрезке $KH$ можно выбрать такую точку $N$, что $AK = KN$, $NH=HC$.

Треугольники $AMN$ и $NBC$ равнобедренные, так как в каждом из них медиана совпадает с высотой. Получается, что и треугольник $MNB$ равнобедренный: $MN = AM = BC = NB$. Значит, углы $NMB$ и $NBM$ при его основании равны. Угол $NMB$ равен $2 \cdot 22^\circ = 44^\circ$ как внешний угол равнобедренного треугольника $AMN$. А $\angle C = \angle BNC$, который равен $44^\circ+22^\circ=66^\circ$ как внешний угол треугольника $ABN$.

Ответ

$66^\circ$.

Замечания

Аналогично можно доказать, что для любого треугольника с острыми углами $A$ и $C$, для которого выполнены остальные условия задачи, угол $C$ будет в 3 раза больше угла $A$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	2025
класс
Класс	7
задача
Номер	4