Условие
Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Пусть $P$ – произвольная точка внутри (и не на сторонах) треугольника $ABC$, лежащая на описанной окружности треугольника $ABH$, и $A'$, $B'$, $C'$ – проекции точки $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Докажите, что описанная окружность треугольника $A'B'C'$ проходит через середину отрезка $CP$.
Решение
Пусть $M$ – середина $CP$. Точки $A'$ и $B'$ лежат на окружности с диаметром $CP$ и центром в $M$, а вписанный в эту окружность угол $A'CB'$ острый, поэтому $\angle A'MB' = 2\angle BCA$ и $M$ лежит от прямой $A'B'$ по ту же сторону, что и $С$. Так как $P$ лежит внутри остроугольного треугольника, её проекции $A'$, $B'$, $C'$ лежат внутри сторон, тогда четырёхугольники $AB'PC'$ и $BA'PC'$ вписанные. Используя равенства вписанных углов, имеем:
$$180^\circ - \angle A'C'B' = \angle AC'B' + \angle BC'A' = \angle BPA' + \angle APB' = 360^\circ - \angle APB - \angle A'PB' =$$
$$= (180^\circ - \angle AHB) + (180^\circ - \angle A'PB') = \angle BCA + \angle BCA = 2\angle BCA,$$
откуда $\angle A'MB' + \angle A'C'B' = 180^\circ$, то есть точки $A'$, $M$, $B'$, $C'$ лежат на одной окружности, что и требовалось.
Замечания
Утверждение задачи остаётся верным для всякого треугольника $ABC$, в котором углы при вершинах $A$ и $B$ не прямые, и для произвольной точки $P$, лежащей на описанной окружности треугольника $ABH$ и отличной от вершин треугольника $ABC$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Номер |
45 |
|
Дата |
2023/24 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
4 |
