Условие
У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если
а) чёрных граней больше половины;
б) сумма площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.
Решение
Решение.
Начнем с задачи б). Предположим, что в многогранник можно вписать шар.
Отметим на каждой грани точку касаний с шаром и проведем из нее отрезки
к вершинам этой грани. Тогда грань разобьется на треугольники. К каждому
ребру многогранника примыкает два таких треугольника, лежащих в смежных
гранях. Они равны по трем сторонам (поскольку две касательные, проведенные
из одной точки к шару, равны). По условию к каждому ребру примыкает не
более одной черной грани. Таким образом, к каждому черному треугольнику
примыкает равный ему белый (Но, конечно, к белому треугольнику
тоже может примыкать белый– важно лишь, что разным черным треугольникам
соответствуют разные белые.) .
Следовательно, сумма площадей черных граней не больше суммы площадей белых
граней. Задачаб) решена.
Точно так же решается и задачаа), о которой уже шла речь в статье
"Невписываемые многогранники" Е.М.Андреева (см."Квант" #8,
задача 9 в конце статьи). В этой статье разобран целый ряд вопросов,
которые возникают в связи с нашей задачей: бывают ли многогранники,
удовлетворяющие подобным условиям, какие еще существуют "признаки
неописываемости" и т.п. Правда, как можно судить по названию статьи,
в ней речь идет о том, можно ли тот или иной многогранник вписать в сферу,
а в нашей задаче– можно ли его описать около сферы. Оказывается,
однако, что обе теории совершенно аналогичны.
Более точно, каждому выпуклому вписанному многограннику можно поставить
в соответствие описанный так, что при этом каждой вершине, ребру, грани
вписанного многогранника сопоставляется соответственно грань, ребро,
вершина описанного. Делается это так. В каждой вершине многогранника,
вписанного в сферу, проводится касательная плоскость. Заметьте, что если
вершины принадлежали одной грани, то соответствующие им плоскости будут
пересекаться в одной точке– вершине нового многогранника,
соответствующей грани и сходного вписанного. Если две вершины вписанного
многогранника соединены ребром, то соответствующие касательные плоскости
будут пересекаться по ребру описанного многогранника. Тем самым мы
построили отображение множества вписанных многогранников в множество
описанных; легко видеть, что это отображение на все множество описанных
многогранников и что у него есть обратное отображение,– другими словами, что каждому
описанному многограннику можно сопоставить вписанный, из которого этот
описанный получается указанным выше способом. Достаточно в каждой грани
отметить точку касания– вершину будущего вписанного многогранника–
и доказать, что все точки касания граней, имеющих общую вершину, лежат
в одной плоскости (рис.6). Оба эти отображения, связывающие множество
выпуклых вписанных и описанных многогранников, составляют прекрасный пример
ситуации, которую математики обычно называют словом "двойственность".
Источники и прецеденты использования
