Условие
Предположим, что в каждом номере нашего журнала в задачнике «Кванта» будет пять задач по математике. Обозначим через
f(x, y) номер первой из задач
x-го номера за
y-й год. Напишите общую формулу для
f(x, y), где
1 £ x £ 12 и
1970 £ x £ 1989. Решите уравнение
f(x, y) = y.
Например, f(6, 1970) = 26. Начиная с 1989 года, количество задач стало менее предсказуемым. Например, в последние годы в половине номеров по 5 задач, а в других номерах по 10. Да и самих номеров журнала сейчас уже не 12, а 6.
Решение
Функция
f удовлетворяет следующим условиям:
1)
f(1
,1970)
=1
;
2)
f(
x+1
,y)
=f(
x,y)
+5
(
1
x<12
)– за каждый месяц
f(
x,y)
увеличивается на
5
;
3)
f(1
,y+1)
=f(1
,y)
+60
– за каждый год
f(
x,y)
увеличивается на
60
.
Ясно, что этими условиями функция однозначно определяется; ее можно
задать, например, такой формулой:
f(x,y)=5x+60(y-1970)-4.
Нетрудно проверить, что
f(5
,2003)
=2001
;
f(6
,2003)
=2006
. Поэтому
уравнение
f(
x,y)
=y не имеет решений.
Из сказанного выше ясно, что если бы мы ввели еще такую функцию:
f(
k,x,y)
– номер
k -й задачи
x -го номера журнала за
y -й год
(
1
k 5
,
1
x 12
,
y 
1970
), то уравнение
f(
k,x,y)
=y имело бы единственное решение
k=3
,
x=5
,
y=2003
–
другими словами, если наша система сохранится до тех пор неизменной
(по-прежнему в каждом номере будет пять задач по математике), то третья
задача в задачнике "Кванта" #5 за 2003 год будет иметь номер
M2003. (Примечание Problems.Ru – третья
задача в задачнике "Кванта" 5 за 2003 год имеет номер M1878)
Общая формула для
f(
k,x,y)
такова:
f(k,x,y)=k+5x+60 (y-1970)-5.
Для читателей, пожалуй, полезнее формулы, задающие обратную функцию, которые
по номеру
n задачи позволяют найти год
y и номер журнала
x , в котором
предлагалась эта задача.
Для этого удобно использовать такие обозначения:
[
a]
– целая часть
числа
a (наибольшее целое число, не превосходящее
a ) и
a=a-[
a]
–
дробная часть числа
a . Проверьте, что
x=[ 12 (n-1)/60 ]+1, y=[
(n-1)/60 ]+1970.
Источники и прецеденты использования
