Задача 73578

Темы:    [ Шахматная раскраска ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на n равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит на n² треугольничков. Назовём цепочкой последовательность треугольничков, в которой ни один не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в цепочке?

Решение

Для доказательства, что часто бывает на олимпиадах, достаточно сделать один неожиданный шаг: раскрасить треугольнички в шахматном порядке, как это сделано на рисунке. Остальное совсем просто. Во всем треугольнике красных треугольничков на n больше, чем желтых (в каждом горизонтальном ряду красных на один больше), а в цепочке цвета должны чередоваться, поэтому красных может быть только на один больше, чем желтых. Одна из цепочек максимально возможной длины показана на рисунке. (Из сказанного выше ясно, что для того, чтобы цепочка имела длину n²-n+1 , необходимо и достаточно, чтобы она начиналась и кончалась в красных треугольничках и проходила через все без исключения желтые.)

Ответ

n²-n+1.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	9
Задача
Номер	М43