Задача 73586
|
|
 |
Условие
Если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1. Докажите это.
Решение
Пусть a, b, c – данные числа. Тогда (a – 1)(b – 1)(c – 1) = abc – ab – bc – ac + a + b + c – 1 = a + b + c – 1/a – 1/b – 1/c > 0, следовательно, из трёх чисел a – 1, b – 1, c – 1 отрицательны ровно два (все три не могут быть положительны, поскольку abc = 1).
