Условие
В трапеции
ABCD с основаниями
AB = a и
CD = b проведён отрезок
A1B1, соединяющий середины диагоналей.
В полученной трапеции проведён отрезок
A2B2, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков
AB,
A1B1,
A2B2,... какое-то число встретиться дважды? Является ли эта последовательность монотонной (возрастающей или убывающей)? Стремится ли она к какому-нибудь пределу?
Решение
Пусть
A1 и
B1 – середины диагоналей
AC и
BD трапеции,
E и
F –
середины боковых сторон
AD и
BC (рис.2). Поскольку
A1 F – средняя
линия треугольника
ACB , a
B1 F – средняя линия треугольника
DCB , то
точки
A1 и
B1 лежат на отрезке
EF и
a1=A1 B1=|A1 F-B1 F|=|
|.
(Эта формула верна независимо от того, какое из чисел
a и
b больше).
Точно так же доказывается, что
где
an=An Bn (
n=1
,2
,3
, ...)
– интересующая нас последовательность.
Тем самым задача сведена к чисто алгебраической задаче о последовательности,
определяемой соотношением(eq97.1) с начальным членом
a0=a>0
.
Если an>b , то an+1=
<an-b .
Поэтому если a>b , то каждый член последовательности будет меньше предыдущего
по крайней мере на b до тех пор, пока не встретится член am такой, что
am 
b (если a b , то положим m=0 , am=a0=a ; многие читатели
рассматривали только этот случай; только он рассматривается и в книге
"Математические задачи" (Е.Б.Дынкин, С.А.Молчанов, А.Л.Розенталь,
А.К.Толпыго, "Математические задачи", изд.3-е "Наука", 1971, задача147.) .
Итак, мы рассматриваем теперь только n 
m .
Если an b , то an+1=
<b .
Таким образом, все следующие за am члены последовательности будут меньше
b и поэтому при всех n m
Рис.97.3. Члены последовательности an , определяемой условиями a0=a ,
an+1=|| – абсциссы вершин ломаной,
окрашенной в зеленый цвет. Звенья этой ломаной попеременно параллельны
осям Ox , Oy , а ее вершины лежат попеременно на прямой с уравнением
y=x и на графике функции y=|
| .
Уравнение x=
имеет единственное решение x=
.
Поэтому если у последовательности {an} существует предел, то он равен
.
Пусть am 
. Положим an=+δn . Тогда
из(eq97.2) следует, что +δn+1=-
, т.е.
– при переходе от n к n+1 разность an-=δn меняет
знак и по абсолютной величине уменьшается вдвое. Теперь все ясно:
в последовательности an никакое число не может встретиться дважды, поскольку
каждый член ближе к , чем предыдущий. Эта последовательность не
монотонна, но стремится к пределу (рис.3, 4).
К сожалению, некоторые читатели пишут: "Поскольку последовательность не
монотонная, она не стремится к пределу". Это рассуждение, конечно, неверно.
Докажем строго, пользуясь определением предела, что
Пусть задано ε>0 . Тогда если n>N , где N=N(ε) –
наименьшее целое число, для которого 2N ε>2m |δm| , то
|an-|=|δn|=
<
<ε . Тем самым(eq97.4) доказано.
Разумеется, предел равен и в том случае, когда am= –
в этом случае все последующие члены тоже равны . Выясним, при каких
значениях a возникает этот случай. Если m=0 , то a= . Если
m=1 и a1== , то a=
.
Вообще, если am= , то a=a0 получается из am=
после m -кратного применения формулы an-1=2an+b . Таким образом, как
нетрудно проверить, значения a , при которых am= , составляют
последовательность , , 
, ... ,
, ... При этих (и только этих) значениях a
последовательность получается монотонной (и с некоторого места– постоянной).
Мы не выделили отдельно случай, когда am=b (при этом am+1=0 , am+2=
, ... ),– с алгебраической точки зрения он ничем не
примечателен, но соответствующие n=m и n=m+1 трапеции вырождаются
в параллелограмм и в треугольник (точки Bm+1 и Cm+1 совпадают, рис.5);
начиная с n=m+2 , получаются настоящие трапеции, и, как всегда, an
стремится к пределу .
Источники и прецеденты использования
