|
|
 |
Условие
а) Докажите, что в таблице
б) В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, кратное 3?
Решение
а) Будем в нашей таблице вместо чётных чисел писать 0, а вместо нечётных – 1. Тогда таблицу из нулей и единиц нужно будет составлять по тому же правилу (каждое число получается как сумма трёх, стоящих над ним в предыдущей строке), только сложение нужно выполнять по модулю два.
Первый способ. Последние четыре числа в каждой строке зависят только от того, каковы последние четыре числа в предыдущей строке, поэтому эта четвёрка периодически повторяется (с периодом 4, см. рис. 1).
б) Как легко убедиться, уже в следующей, четвёртой строке таблицы (верхней строке из одной единицы удобно присвоить номер 0) 1, 4, 10, 16, 19, 16, 10, 4, 1 ни одно число не кратно 3.
Замечания
1. Разобравшись в структуре нашей таблицы "по модулю 3" (на рис. 2 числа,
дающие при делении на три остаток 0, 1, 2, заменены соответственно жёлтыми, чёрными и красными кружочками), можно заметить, что тем же свойством
будут обладать строки с номерами
1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 3² = 13, 1 + 3 + 3² + 3³ = 40 и т.д.
2. Другие свойства чисел этой таблицы можно вывести, пользуясь тем, что в n-й строке нашей таблицы стоят коэффициенты многочлена (действуя примерно так же, как в статье "Арифметика биномиальных коэффициентов").
