|
|
 |
Условие
Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.
Решение
Пусть 1!·3!·...·(2m – 1)! = (½ m(m + 1))!.
Согласно постулату Бертрана между числами 2m – 1 и 2(2m – 1) лежит простое число p.
Предположим, что 2(2m – 1) < ½ m(m + 1). Тогда правая часть уравнения делится на p, а левая – не делится. Противоречие.
Следовательно, 4(2m – 1) ≥ m(m + 1). Этому неравенству удовлетворяют только числа 1, 2, ..., 6. Непосредственной проверкой убеждаемся, что числа 1, 2, 3 и 4 удовлетворяют уравнению, а 5 и 6 – нет.
Ответ
1, 2, 3, 4.
Замечания
О постулате Бертрана можно прочесть в статьях М.И. Башмакова "О постулате Бертрана" и А. Коробова "Простые числа и постулат Бертрана".
