Задача 73719

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Рациональные функции (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Есипенко Г.Е.

Докажите, что для любого натурального числа n  

Решение

Многократно применяя равенство     запишем левую часть в виде     где A_k – некоторые числа. Умножим обе части на  x(x + 1)...(x + n)  и подставим  x = –k.  Тогда справа все слагаемые, кроме одного  A_k(–k)(–k + 1)...·(–1)·1·2·...(n – k) = A_k·(–1)^k·k!(n – k)!,  обратятся в нуль, и мы получаем  

Замечания

См. также статью В.Н. Вагутена "Числа C_n^k, последовательности и многочлены".

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1973
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М184