|
|
 |
Условие
Дано n точек, n > 4. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в любую другую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).
Решение
Индукция по n. База. При n = 5 требуемый граф представлен на рис. слева.
Шаг индукции. Рассмотрим n + 1 точку. Пусть n из них уже соединены – получился граф с n вершинами. Можно считать, что каждые две из этих n точек соединены стрелкой: иначе проведём все недостающие стрелки (направив их в любую сторону), условие тем более будет выполняться. Обозначим (n+1)-ю точку через C и рассмотрим два случая.
Если и X и Y не совпадают с C, то из X в Y можно пройти (не более чем за два «хода») по индукционному предположению.
Пусть X или Y совпадает с C. Тогда другая из этих точек (Y или X) входит в какую-то пару из тех, на которые мы разбили первые n точек. Таким образом, X и Y – это какие-то две из трёх точек, изображенных на центральном рисунке. Глядя на этот рисунок, легко перебрать все возможные варианты и убедиться, что требование выполняется.
2) n нечётно. Выберем любую вершину A1. Она соединена стрелками со всеми остальными вершинами: A2, ..., An. Из A1 выходят не менее чем две стрелки или в A1 входят не менее чем две стрелки (так как n > 4).
Пусть из A1 выходят не менее чем две стрелки (второй случай аналогичен) – в вершины A2, A3. Остальные вершины разобьем на пары. Теперь соединим стрелками новую вершину с тройкой A1, A2, A3 – как показано на рис. справа, а со всеми парами – как показано на рис. в центре. Как и в случае а), легко доказать, что полученный граф удовлетворяет условию задачи.
Замечания
При n = 3 требуемый граф тоже существует (рис. в центре), а при n = 4 такого графа нет (в этом легко убедиться перебором).
