Задача 73766

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Егорян Р.

Решите в натуральных числах уравнение  n^x + n^y = n^z.

Решение

  Очевидно, что  n ≥ 2.  Считая  x ≤ y ≤ z,  перепишем наше уравнение в виде  n^z–x – n^y–x = 1.
  Если  y > x,  то 1 делится на n. Но это не так  (n ≥ 2),  значит,  y = x.  Отсюда   n^z–x = 2,  то есть n = 2,  z – x = 1.

Ответ

n = 2,  y = x,  z = x + 1,  x – любое натуральное число.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1973
выпуск
Номер	11
Задача
Номер	М231