|
|
 |
Условие
Предлагается построить N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек Mi и Mj, где i иМожно ли провести построение, если расстояния rij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?
б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из
в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда
Решение
а) Возможны два взаимно исключающих друг друга случая.
1o . Всякие пять из N точек, построенных с соблюдением требований
задачи, оказываются расположенными на одной прямой.
2o . Не всякие пять из N точек оказываются на одной прямой: по
крайней мере три точки образуют треугольник; пусть это будут точки M1 , M2
и M3 (этого всегда можно добиться, меняя, если нужно, нумерацию чисел rij ).
Рассмотрим сначала более общий случай 2o . Докажем, что в случае 2o
все N точек построить можно. Построим Δ M1 M2 M3 (так, чтобы
M1 M2=r12 , M1 M3=r13 , M2 M3=r23 ). Так как по условию можно
построить на плоскости любые пять из N точек, то четыре из N точек тем более
можно построить (так, чтобы расстояния между ними равнялись заданным числам).
Воспользовавшись этим, построим поочередно точки M4 , M5 , ... , MN ,
следя при построении точки Mk ( 4 k
N ) лишь за тем, чтобы
M1 Mk=r1k , M2 Mk=r2k и M3 Mk=r3k .
Нам понадобится следующая
Лемма. Даны четыре точки на плоскости: A , B , C и D ;
A , B и C не лежат на одной прямой. Пусть E такая точка, что AE=AD ,
BE=BD и CE=CD . Тогда E обязательно совпадает с D .
Доказательство. AE=AD и BE=BD ; значит, если E и D не совпадают,
то они симметричны относительно AB . Аналогично, если E и D не совпадают, то
они симметричны относительно AC (и относительно BC ). Так как две точки
не могут быть одновременно симметричны и относительно AB , и относительно AC ,
то, значит E=D .
Вернемся к решению нашей задачи.
Согласно лемме положение точки Mk ( 4 k
N ) всякий раз определяется
однозначно. Проверим, что построенные таким образом точки– искомые: для любых
i и j расстояние Mi Mj=rij .
Если хотя бы одни из индексов равен 1 , 2 или 3 , то это следует непосредственно
из построения. Пусть оба индекса, i и j , больше 3 . Построим на плоскости
пять точек A1 , A2 , A3 , Ai и Aj так, чтобы попарные расстояния
между ними равнялись заданному числу (в частности, Ai Aj=rij )– по условию
это сделать можно. Передвинем пятиугольник A1 A2 A3 Ai Aj так, чтобы
Δ A1 A2 A3 совпал с Δ M1 M2 M3 (эти два треугольника
равны). По лемме точки Ai и Aj совпадут при этом с точками Mi и Mj .
Тем самым Mi Mj=rij , что и требовалось доказать.
В случае 1o (когда любые пять точек оказываются на одной прямой) все
N точек тем более можно построить, поскольку верно следующее утверждение:
Пусть нужно построить N точек на прямой (так, чтобы попарные
расстояния между ними равнялись заданным числам rij) . Числа rij
заданы так, что всякие четыре из N точек построить можно. Тогда можно
построить все N точек.
Доказывается это утверждение в точности по той же схеме, что и выше.
б) В общем случае из возможности построения любых четырех точек не следует
возможность построения всех N точек. Приведем соответствующий пример для
N=5 .
Пусть D – центр правильного треугольника ABC (рис.4), E – точка,
симметричная D относительно BC . Положим r12=r13=r23=AB , r14=
r24=r34=r15=r25=r35=AD , r45=DE . Построить пять точек M1 ,
... , M5 так, чтобы Mi Mj=rij при всех i и j , очевидно,
невозможно: если выполнены 9 равенств Mi Mj=rij (все, кроме M4
M5=r45 ), то по лемме M4=M5 ; значит, все 10 равенств одновременно
выполняться не могут. Вместе с тем любые четыре точки из пяти построить можно:
все точки, кроме M4 и все, кроме M5 , образуют конфигурацию ABCD ;
остальные три "<четверки" точек образуют конфигурацию BDCE на рис.4.
в) В случае построения точек не на плоскости, а в пространстве, наименьшее
число K , такое, чтобы возможность построения любых K из N точек,
обеспечивала построение и всех N точек, равно шести.
То, что шести точек достаточно, доказывается так же, как и в пункте а). То, что пяти точек мало, следует, как и в пункте б), из рис.5, где E – центр правильного тетраэдра ABCD , a F – точка, симметричная точке E относительно грани KBCD .
