Информация о задаче

Задача 76419

Тема:

[

Объем тетраэдра и пирамиды

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой a, а плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания.

Решение

Пусть длина бокового ребра равна b, а высота пирамиды равна h. Искомый объём V равен a²h/3. Пусть плоские углы при вершине и углы наклона боковых ребер к плоскости основания равны $\alpha$ . Тогда b sin $\alpha$ = h, b cos $\alpha$ = ${\frac{\sqrt{2}}{2}}$ a и b sin ${\frac{\alpha}{2}}$ = ${\frac{a}{2}}$ . Поэтому h = b sin $\alpha$ = ${\frac{a\sin\alpha}{2\sin(\alpha/2)}}$ = a cos ${\frac{\alpha}{2}}$ , а значит, V = ${\frac{1}{3}}$ a³cos ${\frac{\alpha}{2}}$ . Кроме того, sin ${\frac{\alpha}{2}}$ = ${\frac{1}{\sqrt{2}}}$ cos $\alpha$ . Пусть cos ${\frac{\alpha}{2}}$ = x Тогда $\sqrt{1-x^2}$ = ${\frac{1}{\sqrt{2}}}$ (2x² - 1). Решая это уравнение и оставляя только положительный корень, получаем x = ${\frac{1}{2}}$ $\sqrt{1+\sqrt{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	1
Год	1935
вариант
Вариант	2
Тур	1
задача
Номер	3