Условие
Развертка боковой поверхности конуса представляет сектор с углом в
120
o; в конус вписана треугольная пирамида, углы основания которой
составляют арифметическую прогрессию с разностью
15
o. Определить угол
наклона к плоскости основания наименьшей из боковых граней.
Решение
Пусть
l — длина образующей конуса. Длина окружности основания равна длине
дуги развёртки, поэтому радиус окружности основания равен
l /3.
Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна
180
o, получаем,
что основание пирамиды — треугольник
ABC с углами
45
o,
60
o,
75
o. Пусть
BC — меньшая сторона,
O — центр
описанной окружности треугольника
ABC. Тогда
BOC = 2
. 45
o = 90
o, поэтому
BOC — равнобедренный
прямоугольный треугольник с катетами
l /3. Значит,
BC =
l
/3. Пусть
D — середина отрезка
BC,
S — вершина
конуса. Тогда
OD =
и
SD =
=
=
.
Если
— искомый угол, то
cos
=
=
.
Источники и прецеденты использования
