Информация о задаче

Задача 76431

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найти сумму

1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n - 1)³.

Решение

Индукцией по m легко доказать, что 1³ + 2³ + 3³ + ... + m³ = $\left(\vphantom{\frac{m(m+1)}{2}}\right.$ ${\frac{m(m+1)}{2}}$ $\left.\vphantom{\frac{m(m+1)}{2}}\right)^{2}_{}$ . Действительно, база индукции очевидна, поэтому нужно лишь проверить равенство

$\displaystyle {\frac{m^2(m+1)^2}{2}}$ + (m + 1)³ = $\displaystyle {\frac{(m+1)^2(m+2)^2}{2}}$ .

После сокращения на m + 1 и умножения на 4 получаем очевидное равенство m² + 4(m + 1) = (m + 2)². Таким образом, 1³ + 2³ + 3³ + ... + (2n - 1)³ + (2n)³ = $\left(\vphantom{\frac{2n(2n+1)}{2}}\right.$ ${\frac{2n(2n+1)}{2}}$ $\left.\vphantom{\frac{2n(2n+1)}{2}}\right)$ , т.е. 1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n - 1)³ + 2³(1³ + 2³ + ... + n³) = $\left(\vphantom{\frac{2n(2n+1)}{2}}\right.$ ${\frac{2n(2n+1)}{2}}$ $\left.\vphantom{\frac{2n(2n+1)}{2}}\right)^{2}_{}$ . Преобразуем последнее равенство, воспользовавшись тем, что 1³ + 2³ + ... + n³ = $\left(\vphantom{\frac{n(n+1)}{2}}\right.$ ${\frac{n(n+1)}{2}}$ $\left.\vphantom{\frac{n(n+1)}{2}}\right)^{2}_{}$ . В результате получим 1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n - 1)³ = n²(2n² - 1).

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	1
Год	1935
вариант
Серия	B
Тур	2
задача
Номер	3