Задача 76433

Темы:    [ Раскладки и разбиения ] [ Сочетания и размещения ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Сколькими различными способами можно разложить натуральное число n на сумму трёх натуральных слагаемых? Два разложения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.

Решение

  Первый способ. Пусть  n = x + y + z.  Число x может быть равно 1, 2, 3, ..., n – 2.  При фиксированном x число y может принимать одно из
n – x – 1  значений. Всего получаем  (n – 2) + (n – 3) + ... + 1 = ½ (n – 1)(n – 2)  вариантов.

  Второй способ. Запишем n как сумму единиц:  n = 1 + 1 + ... + 1.  Среди  n – 1  знаков плюс мы должны выбрать два: те единицы, что стоят перед первым по порядку выбранным знаком плюс, в сумме дают число x, а те, что стоят после второго знака плюс, – число z. Всего получаем    вариантов.

Ответ

½ (n – 1)(n – 2)  способами.

Замечания

Задача эквивалентна задаче о разложении n орехов по трём различным ящикам. См. задачу 30717 а.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	1
Год	1935
вариант
Тур	2
Серия	C
задача
Номер	2