Задача 76435

Темы:    [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ] [ Симметрические многочлены ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Решить систему уравнений:
   xy = a,
   x⁵ + y⁵ = b⁵.

Решение

  Пусть  a = 0.  Если  b ≠ 0,  решений нет, если  b = 0  – бесконечное множество решений вида  (t, – t).
  Пусть  a ≠ 0.  Положим  xy = t.  Тогда  x⁵ + y⁵ = (x + y)⁵ – 5(x + y)³xy + 5(x + y)x²y² = a⁵ – 5a³t + 5at².
  Решая квадратное уравнение  5at² – 5a³t + a⁵ – b⁵ = 0,  находим     Дальнейшие вычисления имеют смысл при
a(a⁵ + 4b⁵) ≥ 0.  В результате получаем систему уравнений  x + y = a,  xy = t.
  Таким образом, x, y – решения уравнения  z² – az + t = 0,  то есть равны

Получаем еще одно условие на параметры:  а(16b⁵ – a⁵) ≥ 0.  Окончательные условия:  0 < a⁵ ≤ 16b⁵  или  16b⁵ ≤ a⁵ < 0.

Ответ

При  a = b = 0  – бесконечное множество решений вида  (t, – t);
при  16b⁵ ≤ a⁵ < 0  и  0 < a⁵ ≤ 16b⁵  
В остальных случаях решений нет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	2
Год	1936
вариант
Тур	2
задача
Номер	1