ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76478
Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сколько существует натуральных чисел x, меньших 10000, для которых  2x – x²  делится на 7?


Решение

Остатки от деления на 7 чисел 2x и x² повторяются с периодами 3 и 7, поэтому остатки от деления на 7 числа 2xx² повторяются с периодом 21. Среди чисел x от 1 до 21 равные остатки от деления на 7 чисел 2x и x² дают ровно 6 чисел. Поэтому среди чисел от 1 до  9996 = 21·476  есть 476·6 = 2856  требуемых чисел. Непосредственная проверка с использованием полученной последовательности остатков показывает, что из оставшихся чисел 9997, 9998 и 9999 только число 9998 обладает требуемым свойством.


Ответ

2857.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 6
Год 1940
вариант
Класс 9,10
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .