Задача 76499

Тема:    [ Скрещивающиеся прямые и ГМТ ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

В пространстве даны две скрещивающиеся перпендикулярные прямые. Найти множество середин всех отрезков данной длины, концы которых лежат на этих прямых.

Решение

Пусть a — расстояние между данными прямыми, d — длина рассматриваемых отрезков. Выберем систему координат так, чтобы точки первой прямой имели координаты (x, 0, 0), а точки второй прямой имели координаты (0, y, a). Нас интересуют пары точек, для которых x² + a² + y² = d², т.е. x² + y² = d² - a². Середины отрезка с концами в точках с координатами (x, 0, 0) и (0, y, a) имеет координаты (x/2, y/2, a/2), поэтому искомое множество — окружность радиуса /2 с центром (0, 0, a/2), расположенная в плоскости z = a/2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	7
Год	1941
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	5