Условие
К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и
точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике
суммы противоположных сторон равны.
Решение
Пусть
O — точка касания окружностей,
A и
D — точки касания с
окружностями одной касательной,
B и
C — точки касания другой касательной
(точки
A и
B лежат на одной окружности,
C и
D на другой). Проведём
через точку
O общую касательную к окружностям. Пусть она пересекает прямые
BC и
AD в точках
P и
Q. Две касательные, проведённые из одной точки к
окружности, равны, поэтому
PB =
PO =
PC и
QA =
QO =
QD. Из этого следует, что: 1)
отрезок
PQ является средней линией трапеции
ABCD; 2) длина отрезка
PQ
равна полусумме длин сторон
BC и
AD. Остаётся заметить, что длина средней
линии трапеции
ABCD равна полусумме длин её оснований
AB и
CD.
Источники и прецеденты использования
