Задача 76511

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Многоугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Из картона вырезали два одинаковых многоугольника, совместили их и проткнули в некоторой точке булавкой. При повороте одного из многоугольников около этой "оси" на 25^o30 он снова совместился со вторым многоугольником. Каково наименьшее возможное число сторон таких многоугольников?

Решение

Ответ: 240. Прежде всего заметим, что ^. 25 = , причём числа 17 и 240 взаимно простые. Рассмотрим луч, идущий из к осик в вершину первого многоугольника. Повороты этого луча вокруг к осик на углы k ^. 25^o30, где k = 1, 2, ..., 240, различны. Действительно, если повороты луча на углы k₁ ^. 25^o30 и k₂ ^. 25^o30 совпадают, то число целое, а значит, k₁ - k₂ делится на 240. На каждом из этих 240 лучей есть вершина многоугольника, поэтому число сторон многоугольника не меньше 240. С другой стороны, при повороте правильного 240-угольника на угол 25^o30 вокруг центра он совмещается сам с собой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	8
Год	1945
вариант
Класс	7,8
Тур	2
задача
Номер	2