Информация о задаче

Задача 76526

Тема:

[

Тригонометрические неравенства

]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что если $\alpha$ и $\beta$ — острые углы и $\alpha$ < $\beta$ , то

$\displaystyle {\frac{{\rm tg}\alpha}{\alpha}}$ < $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\beta}{\beta}}$ .

Решение

Возьмём на окружности радиуса 1 с центром O точки K, A и B так, что $\angle$ AOK = $\alpha$ и $\angle$ BOK = $\beta$ (рис.???). Опустим из точки A перпендикуляр AH на прямую OK. Пусть C — точка пересечения этого перпендикуляра и прямой OB. Сравнение площадей сектора OAB и треугольника OAC показывает, что ( $\beta$ - $\alpha$ ) < OH^.(tg $\beta$ - tg $\alpha$ ). Сравнение площадей сектора OAK и треугольника OAH показывает, что $\alpha$ > OH^.tg $\alpha$ . Из двух полученных неравенств следует, что

$\displaystyle {\frac{\beta -\alpha}{\alpha}}$ < $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\beta -{\rm tg}\alpha}{{\rm tg}\alpha}}$ , т.е. $\displaystyle {\frac{\beta}{\alpha}}$ < $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\beta}{{\rm tg}\alpha}}$ .

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	9
Год	1946
вариант
Класс	9,10
Тур	1
задача
Номер	5