Задача 76528
|
|
 |
Условие
Докажите, что выражение x5 + 3x4y – 5x³y2 – 15x²y³ + 4xy4 + 12y5 не равно 33 ни при каких целых значениях x и y.
Решение
x5 + 3x4y – 5x³y² – 15x²y³ + 4xy4 + 12y5 = (x + 3y)(x4 – 5x²y² + 4y4) = (x + 3y)(x² – 4y²)(x² – y²) = (x – 2y)(x – y)(x + y)(x + 2y)(x + 3y).
При y ≠ 0 все пять множителей попарно различны, а число 33 нельзя представить в виде произведения пяти целых попарно различных сомножителей. При y = 0 рассматриваемое выражение превращается в x5, а 33 пятой степенью целого числа не является.
