Информация о задаче

Задача 76530

Тема:

[

Геометрические неравенства (прочее)

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из тридцати пунктов A₁, A₂, ..., A₃₀, расположенных на прямой MN на равных расстояниях друг от друга, выходят тридцать прямых дорог. Эти дороги располагаются по одну сторону от прямой MN и образуют с MN следующие углы:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$\displaystyle \alpha$	60^o	30^o	15^o	20^o	155^o	45^o	10^o	35^o	140^o	50^o	125^o	65^o	85^o	86^o	80^o
	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
$\displaystyle \alpha$	75^o	78^o	115^o	95^o	25^o	28^o	158^o	30^o	25^o	5^o	15^o	160^o	170^o	20^o	158^o

Из всех тридцати пунктов выезжают одновременно тридцать автомобилей, едущих, никуда не сворачивая, по этим дорогам с одинаковой скоростью. На каждом из перекрёстков установлено по шлагбауму. Как только первая по времени машина проезжает перекрёсток, шлагбаум закрывается и преграждает путь всем следующим машинам, попадающим на этот перекрёсток. Какие из машин проедут все перекрёстки на своём пути, а какие застрянут?

Решение

Ответ: нигде не будут задержаны машины с номерами 14, 23 и 24. Пусть a_n — дорога, выходящая из пункта A_n, $\alpha_{n}^{}$ — угол, который образует дорога a_n с прямой MN, P_mn — перекрёсток дорог a_n и a_m. (1) Если машина a_m задерживается на перекрёстке P_nm, то угол $\alpha_{n}^{}$ ближе к 90^o, чем угол $\alpha_{m}^{}$ (дорога a_n круче, чем дорога a_m). (2) Пусть m < n. Тогда дороги a_m и a_n пересекаются, если $\alpha_{m}^{}$ < $\alpha_{n}^{}$ , и не пересекаются, если $\alpha_{m}^{}$ $\ge$ $\alpha_{n}^{}$ . (3) Если все дороги, пересекающие a_n, менее круты, чем дорога a_n, то машина a_n нигде не задержится. Это следует из (1). (4) Пусть a_m — самая крутая из дорог, пересекающих a_n. Если a_m круче a_n, то a_m не может быть задержана раньше перекрёстка P_nm. Действительно, предположим, что машина a_m задерживается на перекрёстке P_qm, лежащем на отрезке A_mP_mn. Тогда согласно (1) дорога a_q круче дороги a_m, а значит, по условию она не может пересекать a_n. Покажем, что это невозможно. Рассмотрим сначала случай, когда точка A_q лежит вне отрезка A_nA_m. Прямая a_q пересекает сторону A_mP_nm треугольника A_mP_nmA_n и не пересекает сторону A_mA_n, поэтому она пересекает сторону P_nmA_n, а этого не может быть. Рассмотрим теперь случай, когда точка A_q лежит внутри отрезка A_nA_m. Пусть сначала n < q < m. Дороги a_n и a_m, a_q и a_m пересекаются, а дороги a_q и a_n не пересекаются. Поэтому из (2) следует, что $\alpha_{q}^{}$ $\le$ $\alpha_{n}^{}$ < $\alpha_{m}^{}$ . Угол $\alpha_{m}^{}$ ближе к 90^o, чем угол $\alpha_{n}^{}$ , поэтому неравенство $\alpha_{n}^{}$ < $\alpha_{m}^{}$ возможно лишь при $\alpha_{n}^{}$ < 90^o. Но тогда из неравенства $\alpha_{q}^{}$ $\le$ $\alpha_{n}^{}$ следует, что дорога a_q не более крута, чем дорога a_n, что противоречит условию. Случай n > q > m рассматривается аналогично. (5) Если машина a_n проходит через все перекрёстки, то все дороги, пересекающие a_n, менее круты, чем дорога a_n; это следует из (4) и (1). Итак, из (3) и (5) следует, что машина a_n проходит через все перекрёстки тогда и только тогда, когда все дороги, пересекающие a_n, менее круты, чем дорога a_n. Теперь уже легко получить требуемый результат.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	9
Год	1946
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	5


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	9
Год	1946
вариант
Класс	7,8
Тур	2
задача
Номер	4