Условие
Расположите (На плоскости — прим. ред.) 4 точки так, чтобы при
измерении всех попарных расстояний между ними получалось только два различных
числа. Отыщите все такие расположения.
Решение
Требуемые расположения изображены на рис.???. Всего получаем 6 различных
вариантов. Чтобы найти все эти варианты, будем поочерёдно разбирать случаи,
когда есть 1 отрезок одной длины и 5 отрезков другой длины, 2 отрезка одной
длины и 4 отрезка другой длины, 3 отрезка одной длины и 3 отрезка другой длины.
Во втором случае отрезки равной длины могут либо иметь общую вершину (рис. б и
в), либо не иметь общих вершин (рис. г). В третьем случае отрезки равной длины
могут либо образовывать правильный треугольник (рис. д), либо не образовывать
правильный треугольник (рис. е). Для варианта (е) несложные вычисления с углами
показывают, что искомые точки — это четыре из пяти вершин правильного
пятиугольника.
Источники и прецеденты использования
