Условие
Может ли фигура иметь более одного, но конечное число центров симметрии?
Решение
Ответ: нет, не может. Прежде всего заметим, что если
O1 и
O2 —
центры симметрии фигуры, то точка
O3 =
SO2(
O1) (т.е. точка,
симметричная точке
O1 относительно
точки
O2) тоже является центром симметрии. Это следует из равенства
SO3 =
SO2oSO1oSO2, которое легко проверяется.
Действительно, пусть
A1 =
SO2(
A),
A2 =
SO1(
A1),
A3 =
SO2(
A2). Тогда
AA2A1A3 — параллелограмм с центром
O2.
Точка
O1 является серединой стороны
A1A2, поэтому точка
O3 является
серединой отрезка
AA3.
Предположим, что фигура имеет более одного, но конечное число центров
симметрии. Выберем прямую так, чтобы при проекции на неё не все центры
симметрии отображались в одну точку. Пусть
O1 и
O2 — центры симметрии,
проекции которых являются крайними точками (все остальные проекции центров
симметрии заключены между ними). Тогда точка
O3, симметричная точке
O1
относительно точки
O2, не является центром симметрии. Приходим к
противоречию.
Источники и прецеденты использования
