Задача 77876
|
|
 |
Условие
Найти все рациональные положительные решения уравнения xy = yx (x ≠ y).
Решение
Пусть y = kx. Тогда xkx = (kx)x. Извлекая корень степени x, а затем деля на x, получаем xk–1 = k. Число k рационально; пусть 1/k–1 = p/q – несократимая дробь. Тогда x = (p+q/p)p/q. Числа p и q взаимно просты, поэтому x рационально лишь в том случае, когда из целых чисел p и p + q можно извлечь корень степени q. Но если q ≥ 2 и p = nq, то
nq < p + q < (n + 1)q = nq + qnq–1 + ½ q(q – 1)nq–2 + ...
Поэтому q = 1.
Ответ
x = (p+1/p)p, y = (p+1/p)p+1, где p – произвольное целое число, отличное от 0 и –1.
