Задача 77882

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Метод спуска ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Доказать, что равенство  x² + y² + z² = 2xyz  для целых x, y и z возможно только при  x = y = z = 0.

Решение

Предположим, что  x = 2^mu,  y = 2ⁿv,  z = 2^kw,  где числа u, v, w нечётны. Можно считать, что  m ≤ n ≤ k.  Тогда обе части уравнения можно сократить на 2^2m. В результате получим  u² + 2^(n–m)v² + 2^(k–m)w² = 2^n+k–m+1uvw,  где  n + k – m + 1 ≥ 1.  Если  n = m = k,  то при делении на 4 число в левой части этого равенства даёт остаток 3, а число в правой части даёт остаток 0 или 2. Если же  k > n,  то число в левой части даёт остаток 1, 2 или 3, а число в правой части – остаток 0. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	12
Год	1949
вариант
Класс	7,8
Тур	1
задача
Номер	3