|
|
 |
Условие
Найти такие целые числа x, y, z и t, что x² + y² + z² + t² = 2xyzt.
Решение
Пусть (x, y, z, t) – ненулевое решение. Число x² + y² + z² + t² чётно, поэтому среди чисел x, y, z, t чётное число нечётных чисел. Если все числа x, y, z, t нечётны, то x² + y² + z² + t² ≡ 0 (mod 4), но при этом 2xyzt не делится на 4. Если ровно два из чисел x, y, z, t нечётны, то x² + y² + z² + t² не делится на 4, а 2xyzt делится на 4. Поэтому все числа x, y, z, t чётны.
Пусть 2n – максимальная степень двойки, на которую делятся эти числа. Тогда x = 2nu, y = 2nv, z = 2nw, t = 2ns, причём хотя бы одно из чисел u, v, w, s нечётно. Сократив обе части уравнения на 22n, получим u² + v² + w² + s² = 22n+1uvws. Но левая часть не делится на 8 (см. задачу 34944). Противоречие.
Ответ
x = y = z = t = 0.
